Etwas umstülpen klingt einfach und ist es in den meisten Fällen auch. Doch wie kann man eine Kugel umstülpen ohne dabei die Oberfläche zu zerschneiden, und ohne dass sich scharfe Kanten bilden? Die Mathematik liefert dazu die Antwort. Man muss “nur” eine kleine Gedankenbarriere überwinden und zulassen, dass sich die Oberfläche kreuzen, biegen und dehnen lässt.
Man nehme eine Kugel, welche diesen Anforderungen entspricht. Dann funktioniert es aber immer noch nicht ganz so einfach. Würde man die Kugel an den Polen zusammendrücken, sodass der “Südpüol“ zum “Nordpol“ wird und umgekehrt , würde sich am “Äquator” eine scharfe Kante ergeben.
Wie also die Kugel umstülpen, ohne eine scharfe Kante zu bekommen? Die Mathematik macht es, indem sie die Kugel durch unzählige, einzelne übereinander gelegte, Kreise beschreibt mit Kappen als Pole. Nun werden die Kreise wieder in Teilstücke unterteilt (rein mathematisch). Dadurch lässt sich auch der Umfang eines jeden einzelnen Kreises verändern.
Weiters wird auch die Kugel in Sektoren unterteilt, vergleichbar mit den Zeitzonen der Erde. Nun werden die Sektoren nacheinander einer nach innen und einer nach außen gedrückt. Danach werden die Pole zusammen- und durchgedrückt. Dadurch werden die Sektoren weiter nach außen gedrückt und bilden am Äquator eine Schleife. Jetzt werden die Pole entgegengesetzt gedreht, sodass sich die Schleifen am Äquator auflösen. Jetzt nur noch die Sektoren kreuzen und die Kugel ist umgestülpt!